Эксоцман
на главную поиск contacts

Математика в экономике — поиск золотой середины

Сергей Пекарский, профессор кафедры макроэкономического анализа НИУ ВШЭ
26.03.2013
Студентов нужно пытаться заинтересовать, завлечь. На любом занятии я стараюсь сочетать разные элементы. Нельзя делать так, чтобы в одних лекциях (или курсах) были только математические модели, в других - какие-то рассуждения, в третьих — примеры из реальной жизни. Все это должно быть «склеено» гармоничным образом. Хорошая лекция - это когда студент вначале узнал интересные и завлекательные факты, потом посмотрел на то, как эти факты преобразуются в построение модели, потом на других любопытных фактах или формальной эмпирической проверке понял, насколько адекватно модель описывает действительность .

– Сергей Эдмундович, какие курсы вы сейчас преподаете?

– Я преподаю макроэкономику бакалаврам и магистрам факультета экономики. Бакалаврский курс «Макроэкономика 1-2» у нас разбит на разделы, которые ведут разные преподаватели кафедры. В последнее время я читаю раздел, посвященный финансовым рынкам, потреблению и инвестициям. В недавнем прошлом я также читал разделы по моделированию совокупного спроса, фискальной и монетарной политике. Кроме того, я читаю курс «Макроэкономика-3» студентам дневных и вечерних магистерских программ, специализирующимся в различных отраслях финансов.

– Как вы считаете, что самое сложное для студентов в курсах макроэкономики?

– Я бы разделил все возникающие сложности на две большие группы. Прежде всего, задача любого экономического курса — формирование у студентов определенного стиля мышления. Если этого не происходит, студентам сложно учиться. Это касается студентов и бакалавриата, и магистратуры: ведь на магистерские программы к нам приходят люди и с чисто гуманитарным, и с техническим, и с математическим образованием. «Экономического мышления» на момент поступления в магистратуру у многих из них нет.

Другая сложность связана с тем, что в НИУ ВШЭ при изучении экономики традиционно используется «сложный» математический аппарат. Курсы и микроэкономики, и макроэкономики у нас предполагают использование сложных формальных моделей, которые студенты воспринимают с большим или меньшим успехом в зависимости от подготовки (это больше касается магистров) и способности размышлять в терминах математических моделей. Даже базовый курс макроэкономики, который носит, по сути, вводный характер, у нас основан на западных учебниках уровня Intermediate или даже Upper Intermediate. То есть по, скажем, американским представлениям мы учим наших бакалавров первого и второго курса по учебникам «промежуточного», а не «вводного» уровня. То же касается магистратуры: преподавание макроэкономики здесь основано на учебных пособиях продвинутого уровня и предполагает широкое использование научной литературы (современных статей). Нельзя сказать - «такой-то раздел самый сложный». Со всеми разделами возникают сложности.

– Какие затруднения преподавателей связаны с «высокой математизированностью» курса? Каких ошибок здесь, на ваш взгляд, стоит избегать?

– Мои коллеги и я стараемся избежать главной ошибки: не допускать, чтобы студенты воспринимали макроэкономику как математическую дисциплину. Несмотря на то, что современная макроэкономика говорит на математическом языке, мы стараемся избежать ситуации, когда студенты забывают, какой экономический смысл стоит за той или иной моделью.

Если говорить о бакалавриате, то методом проб и ошибок мы стараемся двигаться к тому, чтобы математический аппарат использовался только в тех случаях, когда это действительно нужно для содержательных целей.

Но с бакалаврами несколько проще: я знаю, что им преподают в рамках других курсов, в том числе математических, и представляю, на какие их знания можно опереться.

Иная ситуация с магистратурой. К нам приходят люди с самым разным бэкграундом. «Технари» хорошо знают математику, но не понимают экономического смысла моделей. «Гуманитарии», бывает, не знают ни того, ни другого. Чтобы как-то сгладить эти различия, я использую следующий подход. Показываю студентам формальные модели, соответствующие современному состоянию макроэкономики, но при этом стараюсь научить студентов воспринимать математику как не более чем язык, который облегчает коммуникацию между экономистами. Грамотный экономист должен уметь прочитать любую формулу на экономическом языке. За всеми преобразованиями в рамках математических моделей стоят некоторые экономические рассуждения. Математический аппарат просто позволяет эти рассуждения формализовать, сделать убедительными - не более того. За любой математикой стоит экономическая интуиция.

Моя задача - создать у студентов впечатление, что вне зависимости от того, насколько хорошо они понимают математический аппарат, можно понять логику построения моделей и макроэкономического анализа, если они понимают экономическое содержание. Прежде всего, я стараюсь делать акцент на объяснении некоторых экономических соображений, которые стоят за формулами. В качестве примера могу привести разбор темы, связанной с расчетом оптимального уровня потребления в условиях неопределенности из курса «Макроэкономика — 3», который я читаю в магистратуре.**

– Как подобный подход к преподаванию сказывается на зачетах и экзаменах?

– Магистры могут прийти на экзамен по курсу «Макроэкономика-3» с листом А4, на котором можно написать любые формулы курса — но никаких словесных пояснений к ним. Студент может не учить формулы наизусть, но он должен уметь использовать их для подтверждения своих экономических построений. Принципиально то, что мы, с одной стороны, не заставляем студентов учить формулы, но, с другой стороны, не разрешаем им пользоваться на экзаменах чем угодно. Мы не проверяем знание формул, но хотим, чтобы экономические рассуждения они умели проводить без подсказок.

– Вы говорили, что формальный математический аппарат — это одна проблема, другая связана с экономическим мышлением. Что такое «экономическое мышление»?

– Если формальный аппарат — проблема скорее студентов магистратуры, то сложности с экономическим мышлением свойственны всем. Экономическое мышление, в моем понимании, - это определенная культура. У любого профессионала есть некоторые особенности мышления и склада ума. Когда-то давно я преподавал на факультете довузовской подготовки и говорил своим слушателям – школьникам старших классов: если вы над бытовыми вопросами начинаете размышлять в терминах альтернативных издержек, у вас начало формироваться экономическое мышление.

Вся программа нашего образования направлена, как я надеюсь, на формирование такого мышления. Выпускник потом может не помнить каких-то нюансов, деталей, моделей. Это неважно. Главное, что он смотрит на мир сквозь призму экономического мышления.

– Почему вы считаете, что с формированием экономического мышления связаны большие затруднения?

– Причин две. Одна связана с преподавателями, другая — со студентами.

Начну со студентов. Здесь проблема в том, что формирование экономического мышления – процесс кропотливый, требующий больших усилий. Если студент пытается учиться в бакалавриате по принципу: «прошел модуль, в конце посидел, подготовился, потом сдал и забыл», то экономическое мышление не сформируется. Чтобы оно появилось, студент должен постоянно поддерживать себя в тонусе: читать и обязательную, и дополнительную литературу, размышлять над ней, а не пытаться «учить к зачету».

Если мы посмотрим на рейтинги успеваемости, обнаружим, что почти половина студентов учится весьма и весьма посредственно. Это связано с тем, что студенты не готовы тратить время на собственное развитие, формировать у себя экономическое мышление, а хотят просто освоить ремесло. Или даже «как-то получить диплом». Образование воспринимается утилитарно, как источник будущих благ — и только. Собственно, это отношение и является причиной затруднений студентов. Они просто не хотят тратить побольше времени на учебу и относиться к ней серьезнее. В результате не воспринимают много из того, чему их пытаются учить, что отражается и на их успеваемости, и на их будущем профессионализме.

Что касается преподавателей, то тут проблема гораздо серьезнее. У многих людей, преподающих экономику в России, профессиональный уровень не дотягивает даже до самых умеренных стандартов. Здесь есть две разновидности затруднений.

Первая связана с преподавателями старшего возраста, которых учили не современной экономической теории, а советской политэкономии. За пределами НИУ ВШЭ и нескольких других ведущих вузов многие профессора и доценты не пытаются освоить современные методы и подходы, а упорно преподают что-то «свое», не имеющее отношения к мэйнстриму современной науки. В частности, большие проблемы есть как раз с формальными моделями. Преподаватели многих вузов их не знают и не хотят знать. По крайней мере, такое впечатление у меня складывается, когда я иногда проглядываю многочисленные «учебники по экономике», написанные в России, а также «исследования» в сборниках конференций и публикации в «реферируемых» журналах. Более того, незнание современной экономики часто преподносится как альтернативное «экономическое мышление». Как результат - во многих вузах преподается «псевдоэкономика».

Вторая разновидность сложностей, напротив, касается преподавателей моего возраста. У многих из нас математический или технический бэкграунд. В результате математика нам ближе, чем экономика. Я сам закончил в НИУ ВШЭ магистратуру в 1998 году, а до этого учился в Московском институте электроники и математики (МИЭМ). По себе могу сказать: 15 лет назад у меня было другое представление о том, как следует преподавать макроэкономику. Я гораздо больше внимания уделял математическому, а не экономическому содержанию. Пытался рассказывать студентам о том, как преобразовывать уравнения и какие «красивые» результаты это дает. Так что можно сказать, что в процессе работы преподаватели развивают экономическое мышление и у себя тоже, не только у студентов.

– Как преподаватель может убедить студентов в том, что учиться нужно не только «ради диплома» или «освоения ремесла»? Может быть, это вопрос мотивации самого студента и тут уж ничего не поделаешь — есть более заинтересованные люди, есть менее...

– Вопрос «мириться или не мириться» с отношением большинства студентов к учебе — открытый. Безусловно, со многим приходится мириться. Половина студентов учится «от сих и до сих». Едва-едва осваивают программу, чтобы «сдать и забыть». В то же время есть и другие ребята, те, кого действительно можно заинтересовать. Наша задача — создать условия для того, чтобы их становилось больше, а не меньше. На мой взгляд, это вопрос формирования программы и организации преподавания. То есть немало зависит и от университета, и от преподавателя.

Образование в ВШЭ, и на факультете экономики в частности, давно стало массовым: ежегодно к нам на первый курс поступает более 300 студентов. Как построить лекции в таких условиях? Преподавать на таком уровне, чтобы «сдал» даже ленивый? Или ориентироваться на студента со «средней» мотивацией? Но тогда мы теряем возможность адекватно учить наиболее талантливых и заинтересованных.

Наш факультет делает следующее. Два года назад мы создали «исследовательский поток» - для тех, кто хочет и может заниматься углубленно. Он не связан ни с какими «привилегиями» - студенты «базового потока» могут точно так же получить 10 баллов, как и студенты исследовательского потока. С исследовательского потока можно в любой момент уйти. Просто те, кто там учится, «проходят» материал на более сложном уровне, от них ждут, что они будут больше читать, больше заниматься самостоятельно. Пока в этот эксперимент вовлечены два курса – «Микроэкономика» и «Макроэкономика». Результаты нас радуют — точной статистики привести пока не могу, но по общему впечатлению после появления «исследовательского потока» средняя успеваемость улучшилась, причем у всех. Надеюсь, в будущем нам удастся развить эту «модель образования».

Кроме того, многое зависит от способа подачи материала на лекциях и семинарах. Студентов нужно пытаться заинтересовать, завлечь. На любом занятии я стараюсь сочетать разные элементы. Нельзя делать так, чтобы в одних лекциях (или курсах) были только математические модели, в других - какие-то рассуждения, в третьих — примеры из реальной жизни. Все это должно быть «склеено» гармоничным образом. Хорошая лекция - это когда студент вначале узнал интересные и завлекательные факты, потом посмотрел на то, как эти факты преобразуются в построение модели, потом на других любопытных фактах или формальной эмпирической проверке понял, насколько адекватно модель описывает действительность. Лекции, которые готовим я и мои коллеги, обычно построены по такому принципу.

В результате студент должен воспринимать формальные математические модели и содержательные экономические вопросы как некое целое, а не исходить из того, что есть реальная жизнь и какие-то теории, не имеющие к ней отношения. Если у студента остается такое впечатление, значит курс неправильно выстроен. Напротив, гармоничное сочетание всех элементов вместе с работой студента дает то самое «экономическое мышление».

Беседовала Екатерина Рылько


** Разбор темы, связанной с расчетом оптимального уровня потребления в условиях неопределенности, из курса «Макроэкономика — 3».


Сначала несколько общих соображений. Современные макроэкономические модели много внимания уделяют изучению динамического равновесия в условиях неопределенности. Макроэкономика – это, прежде всего, динамика. Естественно, содержательные интересные проблемы макроэкономики связаны с рассмотрением неопределённостей и рисков.

Возьмем задачу по определению оптимального уровня потребления. Он связан с несколькими факторами: уровень дохода, ставка процента. Введем фактор неопределенности. Неопределенность может быть отнесена к будущим значениям трудового дохода и ставки процента. 

Неопределенность в отношении будущих значений трудового дохода и ставок процента (а значит и капитального дохода) приводит к неопределенности относительно будущих уровней потребительских расходов и неопределенности относительно соответствующих уровней полезности. По сути, это означает, что в начальном (нулевом) периоде потребитель не может выбрать наперед все будущие Ct!. В будущем, по мере раскрытия неопределенности, потребитель будет в каждом периоде пересматривать решения относительно потребления. Тогда цель репрезентативного агента должна состоять в оптимизации не фактической, а ожидаемой приведенной стоимости потока полезности от потребления:

(1)

Напомним, что оператор рациональных ожиданий Е0  - это оператор условного математического ожидания будущих случайных величин на основе информации, доступной в начальный (нулевой) период.

Введение фактора неопределенности также требует переписать соответствующее межвременное бюджетное ограничение:

 (2)

В общем случае, если ставка процента является переменной (и стохастической), то вместо фактора дисконтирования (1 + r)-τ для постоянной ставки r мы должны записать фактор дисконтирования для переменных ставок , где – оператор произведения, s– внутренний индекс периода на интервале от начального (нулевого) периода до текущего периода τ, и r s + 1 - норма доходности сбережений, сделанных в начале периода s.[1] Коль скоро репрезентативный агент вынужден принимать в каждый момент времени оптимальные решения в условиях неопределенности, мы находимся в классе задач предполагающих рациональное впередсмотрящее решение. И в принципе, бюджетное ограничение (2) может быть записано для любого периода времени t:

(3)

Для нашего дальнейшего анализа бюджетное ограничение (3) удобнее переписать в динамической форме, т.е. в виде конечно-разностного уравнения динамики богатства:

(4)

Как обычно, уравнение (2) является впередсмотрящим решением уравнения (4), при наличии дополнительного условия отсутствия игр Понци:

(5)

Отметим, что в (4) нет оператора рациональных ожиданий – он здесь не нужен. Для заданных величин At, Ct и Yt уравнение (4) определяет фактическое значение случайной  величины At+1 ,которое будет иметь место для конкретной реализации случайной величины rt+1 .

Итак, нам необходимо решить следующую задачу динамической оптимизации в условиях неопределенности:

(1)

(4)


В отличие от задачи динамической оптимизации поведения потребителя в условиях определенности, решенной в главе (4), здесь, в условиях неопределенности, мы не можем использовать простейший метод множителей Лагранжа. Решение сформулированной задачи может быть получено с использованием метода динамического программирования. Первое, что необходимо сделать – это ввести в модель функцию стоимости (англ. Value function) и составить соответствующее уравнение Беллмана:

(6)

Функция стоимости V (At , Yt , rt ) имеет обычный для данного класса экономических задач смысл. Она может рассматриваться как обобщенная функция полезности, или функция полезности от богатства. Зависимость функции стоимости от величины трудового дохода и ставки процента характеризует ее будущие значения как случайные величины. Метод динамического программирования позволяет нам переформулировать проблему (1) и (4), сформулированную в терминах условной оптимизации ожидаемого потока полезности, в проблему пошагового принятия оптимальных решений в каждый момент времени. Переформулированная задача допускает рекурсивное решение, когда двигаясь из будущего в прошлое мы автоматически «устраняем» проблему неопределенности. Высокий уровень сбережений снижает текущее потребление и полезность от текущего потребления, однако позволяет потреблять больше в будущем. Тем самым, в каждый момент времени перед репрезентативным агентом стоит проблема оптимального распределения трудового дохода между потреблением и сбережениями в отсутствии точного знания будущих значений трудового дохода и ставки процента. Однако, если бы эту задачу можно было бы решать не сейчас, а в следующий период времени, проблема неопределенности бы не стояла. В этом и состоит суть метода динамического программирования, требующего принятия оптимального решения в каждый момент времени, вне зависимости от принятых ранее решений. Действительно, (6) определяет текущее значение функции стоимости как уже оптимизированное решение проблемы выбора между полезностью от текущего потребления, u(Ct ), и ожидаемой приведенной стоимостью полезности от
потребления во все будущие моменты времени,  .


Условно говоря, начиная с терминального момента времени (T=∞), мы шаг за шагом спускаемся вниз, определяя значение функции стоимости и оптимальные траектории потребления, сбережения и богатства.

Однако, решение данной простой задачи может быть найдено и без формального решения уравнения Беллмана. Оптимизация правой части (6) с учетом (4), определяющего зависимость At +1 от C t, дает нам следующее условие первого порядка:[2]
(7)

В чистом виде полученное условие (7) вряд ли может быть для нас  полезным, т.к. содержит частную производную функции стоимости, притом, что сама функция стоимости нам неизвестна. Решить эту проблему можно следующим нехитрым образом. С учетом того, что сбережения  St=At+Yt-Ct, перепишем уравнение Беллмана (6) как если бы оптимизировали деятельность репрезентативного агента не по потреблению, а по сбережениям:

(8)

Действительно, мы можем с легкостью сделать такой переход, т.к. в каждый момент времени выбор объема потребления автоматически (для данных текущих трудового дохода и богатства) определяет сбережения, и наоборот. Положим, что в (8) мы уже нашли максимум для некоторого St*. С учетом того, что At+1=St(1+rt+1), мы можем представить (8) в виде: 

(9)

Продифференцируем (9) по текущему богатству. Приравнивая частные производные по  правой и левой части (9), мы получаем, что



Трюк состоит в том, что второй член в правой части (9) формально уже не зависит от At : хотя по определению сбережений из трудового дохода St=At+Yt-Ct, величина  St* уже задана (выбрана) и не зависит от At.  С учетом того, что



мы окончательно получаем: 

(10)

Полученное условие (10) имеет ясный экономический смысл: в точке оптимума предельная полезность потребления должна быть равна предельной полезности богатства. Другими словами, предельные потери отказа от дополнительной единицы текущего потребления должны быть в точности компенсированы предельным выигрышем от получаемой возможности увеличения потребления в будущем – возможности, которую дает дополнительная единица накопленного богатства. Условие (10) также дает нам возможность преобразовать (7) к более удобному виду. Записывая условие (10) для момента времени t+1,



и подставляя его в (7), мы получаем:

 (11)

Соображения, которые я привел выше, — это формальный математический аппарат, который стоит за уравнением Беллмана. Большинство студентов сталкивается с этим методом моделирования впервые. Я делаю акцент на экономическом содержании уравнения Беллмана и с его помощью обосновываю, почему уравнение Беллмана имеет именно такой вид. Каждый элемент этого уравнения я объясняю в базовых экономических терминах и понятиях. В конечном итоге динамическая оптимизация – это проблема выбора в межвременном аспекте. Проблема выбора в экономике всегда характеризуется минимизацией альтернативных издержек. Важно, чтобы студенты понимали не столько математическую сторону вопроса, сколько экономическую логику, простую интуицию, которая стоит за решением. Таким образом, я стараюсь объяснить достаточно сложные математические конструкции в базовых терминах экономического анализа. Насколько мне это удается – вопрос к студентам.



[1]  По построению предполагается, что  для t =0 оператор 

 

[2]  Мы продифференцировали выражение в фигурных скобках в правой части (6) по потреблению и приравняли полученное выражение к нулю. Дифференцируя член  , мы не только использовали уравнение (4), но и тот факт, что как оператор рациональных ожиданий, так и операция взятия производной являются линейными. Это позволяет рассмотреть их суперпозицию, т.е. внести производную под оператор ожиданий.